Calcul à l'aide d'une formule de récurrence

Soit  \((w_n)\) la suite numérique définie par  \(w_0=5\) et pour tout  \(n\in\mathbb{N}\) par \(w_{n+1}=\dfrac{w_n}{3}+6\) . Cette suite est définie par récurrence. Pour obtenir le terme de rang 10, il faut calculer le terme de rang 9, qui n'est calculable qu'en ayant le terme de rang 8, et ainsi de suite.
Pour ce faire, nous utilisons une boucle bornée (aussi appelée boucle for). La fonction suivante renvoie le terme de rang  `n` pour un entier  \(n\in\mathbb{N}\) passé en argument. Exécuter ce programme.
def terme_w(n):
    w = 5
    for i in range(n):
        w = w/3 + 6
    return w

Explications du programme

• La variable w contient les valeurs successives des termes de la suite.
• On l'initialise ligne 2 en lui donnant la valeur 5.
  
• La boucle for de la ligne 3 crée n répétitions de l'instruction de la ligne 4. On remarquer que la ligne 4 est encore indentée d'un cran pour bien signifier qu'elle fait partie de la boucle for.
  
• Ligne 4 : la valeur du terme suivant de la liste est calculée à l'aide de la formule de récurrence et de la valeur précédente. Ce qui est à gauche du signe = désigne la nouvelle valeur, ce qui est à droite désigne l'ancienne. Cette nouvelle valeur est à nouveau enregistrée dans la variable w.
• La dernière valeur calculée est renvoyée ligne 5. Attention à l'indentation (alignement) : le return doit être en dehors de la boucle, et donc au même niveau que le for.

Pour calculer \(w_{10}\) , on appelle la fonction terme_w avec l'argument 10.
terme_w(10)

Exercice

1. Écrire ci-dessous une fonction terme_t prenant un entier n en paramètre et renvoyant le  terme de rang n de la suite définie par  \(t_0=2\) et pour tout  \(n\in\mathbb{N}\) par  \(t_{n+1}=0,8t_n+4\) .

2. Utiliser la fonction ainsi construite pour calculer  `t_10` .

3. Conjecturer la limite de cette suite.